介绍高斯-博内定理在微分几何中的重要性以及国内外研究现状，强调该定理在曲面几何和拓扑学中的关键作用。
明确本文的研究目标，即深入理解高斯-博内定理及其在曲面几何和拓扑学中的应用。
概述本文采用的文献研究、理论推导和实例分析的方法，并介绍主要参考文献。
介绍本文的章节安排和内容概要，包括曲面的基本概念、曲线的高斯-博内定理和紧致曲面的高斯-博内定理。
介绍正则曲面的定义及其在微分几何中的重要性，讨论正则曲面的参数化。
定义切空间，并介绍第一和第二基本形式的概念及其在曲面几何中的应用。
定义高斯曲率并讨论其在曲面几何中的物理意义，通过球面和环面的例子说明如何计算高斯曲率。
讨论平面曲线的总曲率，并引入测地曲率的概念，证明平面曲线的高斯-博内定理。
讨论曲面上的曲线的总曲率，进一步引入测地曲率的概念，并讨论其在曲面几何中的应用。
介绍曲面的三角剖分和欧拉特征数的概念，讨论它们在曲面几何中的重要性。
证明紧致曲面的高斯-博内定理，即曲面的总高斯曲率等于其欧拉特征数的2π倍。
通过球面和环面的例子说明紧致曲面的高斯-博内定理的应用。
总结论文的主要研究结论和发现，包括高斯-博内定理在曲面几何和拓扑学中的重要性。
提出未来研究的方向和建议，包括进一步探索高斯-博内定理在更广泛领域的应用。